200 yıllık imkansız matematik problemi çözüldü

Profesör Norman Wildberger’in geliştirdiği yöntem, beşinci dereceden ve daha yüksek dereceli polinom denklemlerinin çözümüne yönelik ezberleri bozuyor.

Yüzyıllık problemde dönüm noktası

Polinomlar, içindeki değişkenlerin (örneğin x) farklı derecelerde üslü olduğu denklemler olarak biliniyor.

Bu tür denklemler sadece teorik matematikte değil, gezegen hareketlerinin hesaplanmasından yazılım kodlamaya kadar pek çok alanda kullanılıyor. Ancak x’in beşinci kuvveti ve üzeri içeren yüksek dereceli polinomlar için evrensel bir çözüm formülü bugüne kadar geliştirilememişti.

UNSW Onursal Profesörü Norman Wildberger ve bilgisayar bilimci Dr. Dean Rubine’in birlikte yayımladığı çalışmada, bu soruna “radikal” olmayan, yani irrasyonel sayılardan kaçınan yenilikçi bir yaklaşım öneriliyor.

Köklere dayalı klasik yöntemler yetersiz kaldı

İkinci dereceden denklemler M.Ö. 1800'lü yıllarda Babil’de “tam kare tamamlama” yöntemiyle çözülmeye başlanmış, bu yöntem zamanla lise düzeyinde öğretilen klasik ikinci derece denklem formülüne dönüşmüştü.

16. yüzyılda bu teknik üçüncü ve dördüncü dereceden denklemlere de uygulanmıştı. Ancak 1832 yılında Fransız matematikçi Évariste Galois, beşinci derece ve üzerindeki denklemler için genel bir çözüm formülünün mümkün olmadığını ortaya koymuştu.

Bu tarihten sonra yaklaşık çözümler geliştirildi ancak Wildberger’e göre bu çözümler saf cebirsel yöntemlerin dışındaydı.

Radikal sayıların reddi yeni kapılar açtı

Prof. Wildberger, çözümün radikaller – yani köklü ifadeler – kullanılmadan geliştirilmesi gerektiğini savunuyor. Ona göre, üçüncü dereceden kök yedi gibi ifadeler irrasyonel sayılara dayanıyor ve bu da sonsuz ondalıklar nedeniyle hiçbir zaman tam anlamıyla hesaplanamıyor. Wildberger bu nedenle irrasyonel sayıların matematikte mantıksal sorunlara yol açtığını belirtiyor.

Bu bakış açısı, onun daha önce geliştirdiği “rasyonel trigonometri” ve “evrensel hiperbolik geometri” gibi alanlarda da temel alınmıştı. Yeni yöntemde ise polinomların sonsuz terimli uzantıları olan "kuvvet serileri" kullanılıyor. Bu seriler belirli bir noktada kesilerek, çözümün doğruluğu yaklaşık sayılarla kontrol edilebiliyor.

Yeni sayı dizileriyle çözüme ulaşıldı

Wildberger’in yöntemi, klasik çözüm yöntemlerinden farklı olarak, kombinatorik sayı dizileri üzerinden çalışıyor.

Özellikle çokgenlerin üçgenlere bölünme biçimlerini açıklayan “Catalan sayıları”ndan yola çıkılarak, bu sayıların çok boyutlu uzantıları geliştirildi.

“Geode” adı verilen bu yeni sayı dizisinin, beşinci dereceden denklemler dâhil olmak üzere yüksek dereceli polinomlara genel çözüm sunduğu ifade ediliyor.

Uygulamalı matematik için yeni algoritmalar geliştirebilir

Wildberger, geliştirdikleri yöntemin sadece teorik değil, uygulamalı matematikte de geniş kullanım alanlarına sahip olabileceğini vurguladı. Yeni yöntemin, bilgisayar programlarında denklemlerin radikaller yerine kuvvet serileriyle çözülmesini mümkün kılabileceği belirtiliyor.

Geode dizisinin, gelecekte matematiksel kombinatorik alanında birçok yeni araştırmanın önünü açması bekleniyor.

“Bu sadece bir başlangıç”

Prof. Wildberger, “Geode dizisini tanıtarak klasik Catalan sayılarını genişlettik. Bu keşfin, cebirin temel bir bölümünde köklü bir revizyon anlamına geldiğini düşünüyoruz. Bu daha başlangıç, keşfedilecek çok fazla alan var” ifadelerini kullandı.